Произведение двух натуральных чисел равно 8400, а наибольший общий делитель равен 20. Также необходимо найти наибольшую сумму этих двух чисел.

Сначала необходимо разложить число 8400 на простые множители: 8400 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 7. Учитывая наибольший общий делитель, можно сделать вывод, что это число нужно разделить на 20, чтобы получить наибольшие возможные значения для a и b.

Следовательно, возможны следующие варианты:

• a = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 168
• b = 2 * 5 * 5 * 7 = 350

• a = 2 * 2 * 2 * 5 * 7 = 280
• b = 3 * 5 * 7 = 105

• a = 2 * 2 * 2 * 5 * 5 = 200
• b = 3 * 7 = 21

Итак, имеется три пары чисел (168, 350), (280, 105) и (200, 21) с произведением 8400 и наибольшим общим делителем 20. Суммы этих пар равны 518, 385 и 221 соответственно. Следовательно, наибольшая сумма a + b равна 518.

Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить уникальные свойства куба, а именно - что сумма произведений чисел на трех примыкающих к нему гранях в любой вершине куба всегда одинакова.

Отсюда следует, что сумма чисел на всех шести гранях должна быть кратна восьми этой сумме. В данном случае, сумма восьми чисел равна 1001, поэтому сумма чисел на шести гранях может быть как минимум 125 (1001/8).

Сделаем предположение, что сумма шести чисел равна 125. Тогда, если мы сложим произведения чисел на двух противоположных гранях, то получим сумму равную 125. Например, (1*6*1)+(2*5*2)+(3*4*3)=43+20+9=72. У нас осталось две грани, значит, сложим 125 и 72, получим сумму 197. Но это недостаточно, так как некоторые числа могут повторяться на других гранях.

Для того чтобы понять какие числа могут повторяться, нужно разбить их на группы по 4 числа, каждая группа соответствует четырем противоположным граням. Суммы этих групп должны быть одинаковыми. Например, первая группа - (1*6*1)+(2*5*2)+(3*4*3)=12+24+15=51, вторая группа - (6*2*3)+(5*3*4)+(4*1*2)=36+60+20=116. Нет, разделяя числа по этим группам, мы не получим желаемую сумму.

Тогда попробуем разделить числа на группы по 3 числа, каждая группа - это три примыкающие грани. Сумма групп также должна быть одинаковой. Например, первая группа - (1*6*1)+(2*5*2)+(3*4*3)=12+24+15=51, вторая группа - (6*2*2)+(5*3*3)+(4*4*1)=24+45+16=85. Нет, и такая группировка не дает нужную сумму.

Остается последняя группа, сумма трех чисел которой должна быть 125-116=9. Тогда, нужно подобрать три числа, сумма которых равна 9. Это может быть только 1, 3 и 5. Таким образом, мы получили ответ: сумма шести чисел на гранях куба может равняться 125, если на каждой грани число 1, 3 и 5.