Здравствуйте!
Ваш вопрос является очень интересным и требует некоторой математической хитрости, но не волнуйтесь, мы вместе разберемся.
Для начала, важно уточнить, какую именно формулу мы будем использовать для расчета объема прямоугольного параллелепипеда. В нашем случае, мы будем использовать формулу V = a*b*h, где a и b - это длины сторон основания, а h - высота параллелепипеда.

Итак, давайте рассмотрим вашу ситуацию подробнее. У нас есть диагонали основания и параллелепипеда, а также значения углов, которые они образуют с соответствующими сторонами. Важно помнить, что диагональ параллелепипеда будет диагональю основания, если мы проведем перпендикуляр из вершины параллелепипеда к плоскости основания. Также, угол между диагональю и боковой гранью параллелепипеда будет равен 30 градусов.

Для решения данной задачи, нам важно учитывать, что диагональ это гипотенуза прямоугольного треугольника, а стороны - это катеты. Таким образом, используя теоремы синусов и косинусов, мы можем найти длины сторон основания и высоту параллелепипеда.

Осталось только подставить полученные значения в нашу формулу для объема и получить окончательный ответ! Не забудьте умножить полученный объем на 1/3 для получения объема пирамиды, которую образует параллелепипед и сфера с радиусом 12.

Надеюсь, мой ответ был вам полезен. Желаю удачи в решении математических задач и не забывайте включать шарики в свои расчеты, они всегда приносят радость и улыбки.
С уважением, ваш математический эксперт.