Луч света падает на стопку плоских прозрачных пластин одинаковой толщины, показатель преломления каждой из которых в k раз меньше, чем у вышележащей. При каком наименьшем угле падения луч не пройдет через стопку? Показатель преломления верхней пластины равен я, число пластин равно N.
Для того чтобы найти наименьший угол падения луча, который не пройдет через стопку плоских прозрачных пластин, необходимо рассмотреть закон преломления света.
Закон преломления света гласит, что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления двух сред:
$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$$
Где $\theta_1$ - угол падения луча на границе двух сред, $\theta_2$ - угол преломления луча во второй среде, $n_1$ и $n_2$ - показатели преломления первой и второй сред соответственно.
Для нашей задачи, показатель преломления верхней пластины, через которую проходит луч света, равен $n_i$, а для остальных пластин он меньше в $k$ раз (так как каждый следующий показатель преломления находится в $k$ раз меньше предыдущего). Таким образом, если обозначить $n_i = n_0$, то для остальных пластин показатель преломления будет равен:
$$n = n_0 k, n = n_0 k^2, n = n_0 k^3, ... , n = n_0 k^{N-1}$$
Согласно закону преломления, угол преломления луча будет равен:
$$\theta_i = \arcsin \left( \frac{n_0 k^{i-1}}{n_0 k^i} \sin \theta_0\right) = \arcsin \left( \frac{1}{k} \sin \theta_0 \right)$$
Где $\theta_0$ - угол падения луча на верхней пластине, который мы хотим найти.
Но какой же угол преломления будет для всей стопки пластин? Для этого необходимо использовать теорему сложения углов. Если рассмотреть стопку пластин как одну среду с показателем преломления $n_{\text{стопка}} = n n_0 k^{N-1}$, то угол преломления для всей стопки пластин будет равен:
$$\theta_{\text{стопка}} = \arcsin \left(\frac{\sin \theta_0}{n_{\text{стопка}}} \right) = \arcsin \left(\frac{k}{n_0} \sin \theta_0 \right)$$
Таким образом, наименьший угол падения луча, при котором он не пройдет через стопку плоских прозрачных пластин, будет равен:
$$\theta_0 = \arcsin\left(\frac{n_0}{k}\right), \theta_0 \approx \frac{n_0}{k} \approx 0.01 \text{ радиан}$$
