Через сторону основи правильної трикутної піраміди і середину протилежного бічного ребра проведено площину, яка утворює з площиною основи кут с. Знайдіть об'єм піраміди, якщо її висота дорівнює Н.
За теоремою Піфагора, висота піраміди буде дорівнювати √(h^2 - a^2/4), де h - висота, a - сторона основи.
Тоді, за теоремою Піфагора, ребро основи AC дорівнюватиме: AC = 2√(a^2 - (a/2)^2) = √3a.
Тепер, якщо провести площину, паралельну BC, то вона буде утворювати з площиною основи кут 60°, так як AC є діагоналлю паралелограму, який утворений векторами ←BA та ←BC (так як ←BA ←BD, а ←BD ←BC).
Таким чином, ми отримуємо, що площина, проведена через сторону основи трикутної піраміди ABCD і середину протилежного бічного ребра AB, утворює з площиною основи кут 60°. І, враховуючи, що площина, проведена через середину протилежного бічного ребра, є бісектрисою кута, то ми можемо сказати, що кут утворюється між площиною, проведеною через середину бокового ребра, і площиною основи дорівнює 60°/2 = 30°.
Тепер, за теоремою синусів, ми можемо знайти сторону трикутника ABC (який утворюється площиною, проведеною через основу піраміди) за формулою: a/√3 = 2r/sin30°, де r радіус описаного кола трикутника. А оскільки відстань від середини основи до вершини піраміди дорівнює радіусу описаного кола, то отримуємо: h^2 = 3a^2/12 = a^2/4 → h = a/2
Отже, об'єм трикутної піраміди буде дорівнювати: V = (1/3) * S * h = (1/3) * (a^2 * √3)/4 * a/2 = √3 * a^3/24.
