Согласно законодательству РФ, орган внутренних дел в данной ситуации должен в первую очередь учесть здоровье гражданина Франции Буржеля и предоставить ему возможность полноценного выздоровления в России. Таким образом, в соответствии с законом «О въезде, выезде и прохождении через государственную границу РФ», Буржелю необходимо предоставить разрешение на временное проживание на территории РФ в течение 2 месяцев с момента истечения срока действия его визы. 

Однако, следует учитывать, что внутренний орган имеет право на дополнительную проверку и подтверждение уважительных причин продления визы, таких как учеба, трудоустройство или брак с гражданкой РФ. В данном случае, Буржель не имеет права покидать больницу в течение 2 месяцев, поэтому он не может пройти обязательную процедуру, такого рода запросы могут быть не одобрены. 

В связи с этим, наиболее целесобразным решением для Буржеля будет подача внутренним органам заявления на оформление временного разрешения на проживание в РФ с учетом его медицинских показателей и ограничений.