Один из самых важных теорем геометрии - это теорема о центре окружности, описанной вокруг треугольника. Она гласит, что центром описанной окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. Используя эту теорему, мы можем найти координаты центра и радиус описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(1;1), B(8;2), C(7;9).

Сначала найдем середину отрезка AB, которая будет одной из биссектрис угла A. Для этого сложим координаты точек и поделим на 2: ((1+8)/2; (1+2)/2) = (4.5; 1.5). Аналогично, найдем середину отрезка AC: ((1+7)/2; (1+9)/2) = (4; 5). Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки, чтобы определить ее точку пересечения с биссектрисой угла B. Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой: y = kx + b, где k - это тангенс угла наклона прямой, а b - это координата точки пересечения с осью y.

Для нашей прямой получается такое уравнение: y = 0,75x + 0,75. Теперь найдем точку пересечения с биссектрисой угла B. Для этого приравняем уравнение к координате точки B(8;2): 2 = 0,75*8 + 0,75 => x = 3. То есть точка пересечения находится на высоте x = 3, а значит координатой центра будет являться точка O(3;?).

Аналогично, мы можем найти вторую точку пересечения с биссектрисой угла С, которая будет компенсировать рассчет ошибки при нахождении точки O. Для этого приравняем уравнение к координате точки C(7;9): 9 = 0,75*7 + 0,75 => x = 4,5. То есть вторая точка пересечения будет находиться на высоте x = 4,5. Среднее арифметическое этих двух значений даст нам координату точки O, так как она является их серединой: (3+4,5)/2 = 3,75. Таким образом, координаты центра описанной окружности равны O(3,75;?).

Теперь найдем радиус R. Для этого мы можем воспользоваться формулой r = a*sin(A)/sin(alpha), где a - это сторона треугольника, A - угол при этой стороне, а alpha - угол половины пересечения биссектрисы с стороной треугольника. В нашем случае сторона BC = d(A,B) = √((a2-a1)^2+(b2-b1)^2) = √((8-7)^2+(2-9)^2) = 9. Из подобия треугольников можно получить, что угол alpha равен углу A, а значит радиус окружности R = (9/2)*sin(∠BAC) = (9/2)*sin(∠BAC) = 4,968 с единицами погрешности. Таким образом, мы нашли координаты центра и радиус описанной окружности треугольника ABC: O(3,75;?) и R ≈ 4,968.