Воздушный шар объемом V опускается с ускорением. Масса шара, включая
оболочку, газ и корзинку с балластом, равна m. Какую массу балласта надо сбросить,
чтобы этот шар стал подниматься с прежним ускорением? Сопротивление воздуха Fсопр.
Найти подъемную силу при этом.
Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать законы Ньютона. Согласно второму закону Ньютона, сила равна массе, умноженной на ускорение, то есть F = m*a. Мы можем разбить эту задачу на две части: первая - посчитать силы, действующие на шар вниз и вверх, а вторая - найти правильный балласт. Сначала рассмотрим силы, действующие на шар вниз. Это сила тяжести m*g и сила сопротивления воздуха Fсопр. Тогда Fвниз = m*g +Fсопр. Выразим из второго закона Ньютона ускорение: a = (Fвниз-m*g)/m. Теперь рассмотрим силы, действующие на шар вверх. Это подъемная сила Fподъемная и сила балласта m1*g (масса балласта умноженная на ускорение свободного падения). Тогда Fвверх = Fподъемная + m1*g. Для того, чтобы шар двигался с постоянным ускорением, подъемная сила должна быть равна силе тяжести и силе сопротивления, то есть Fподъемная = m*g + Fсопр. Следовательно, m1*g = m*g + Fсопр. Выразим из этого ускорение: a = (Fподъемная-m*g)/m1. Для того, чтобы наше ускорение осталось прежним, нам нужно приравнять два уравнения: a = (Fподъемная-m*g)/m1 = (Fвниз-m*g)/m. Сократим коэффициенты и выразим m1: m1 = m*(Fвниз-Fподъемная)/(Fподъемная+Fсопр). Теперь, чтобы найти подъемную силу, вступает в игру закон Архимеда, который говорит, что подъемная сила равна весу жидкости (в которой плавает шар). То есть, чтобы найти подъемную силу, нужно найти вес жидкости, занимающей объем шара. Для этого воспользуемся законом сохранения массы: mшара + mбалласта = mжидкости. Выразим мжидкости: mжидкости = mшара + mбалласта. Теперь используем закон Архимеда: Fподъемная = mжидкости*g = (mшара + mбалласта)*g. Вставим выражение для подъемной силы в уравнение для m1 и получим окончательный ответ: m1 = m*(Fвниз-Fподъемная)/((mшара + mбалласта)*g). Для того, чтобы найти подъемную силу, достаточно подставить этот ответ в уравнение для mжидкости и разделить полученное значение на ускорение свободного падения g: Fподъемная = (mшара + mбалласта + m*(Fвниз-Fподъемная))/g. Теперь мы можем найти подъемную силу и массу балласта, необходимую для поддержания прежнего ускорения: Fподъемная = mшара*g + mбалласта*g + m*g – m*g*Fсопр/Fвниз и mбалласта = m*(Fвниз-Fподъемная)/(g-Fвниз*Fсопр/g). Для удобства вычислений, подъемную силу и массу балласта можно выразить в килограммах с помощью умножения на ускорение свободного падения g.
