Всем известна сказка про репку, в которой герои пытались вместе вытащить съедобный плод из земли, но мало кто знает продолжение этой истории. В следующем году Дед решил, что будет тащить репку до дома равномерно с помощью каната. Он взял канат с известной жесткостью 400 Н/м и прикинул, что масса репки примерно 10 кг. А Внучка измерила длину каната в растянутом состоянии, она оказалась равна 25 см. Зная коэффициент трения репки о землю 0,2, найдите длину каната в состоянии покоя. Результат выразите в сантиметрах.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой для расчета равномерно движущегося тела, где сила трения равна произведению коэффициента трения на вес тела. Следовательно, согласно данным, величина силы трения равна 0,2 * 10 кг * 9,8 м/с^2 = 19,6 Н. Для равновесия необходимо, чтобы сила натяжения каната равнялась этой силе трения. Таким образом, сила натяжения каната равна 19,6 Н. Но по определению, сила натяжения является разностью между силами натяжения в начале и в конце каната. Следовательно, сила натяжения в конце каната равна 0. А значит, 19,6 Н сила натяжения в начале каната равна силе тяги в конце каната. Используя формулу F = ma, где F - сила тяги, m - масса, a - ускорение, можно вычислить ускорение как a = F/m = 19,6 Н / 10 кг = 1,96 м/с^2. Зная, что ускорение равно второй производной от перемещения, а расстояние равно произведению скорости на время, a = 2 * s/t^2. Отсюда следует, что s = a * t^2 / 2. Исходя из предоставленных данных о жесткости каната и его длине в растянутом состоянии, можно вычислить время как t = √(9L/ka), где L - длина каната, k - коэффициент жесткости, a - ускорение. Подставляя изначальные данные в эту формулу, получаем: t = √(9 * 0.25 м / (400 Н/м * 1,96 м/с^2)) = 0,0343 с. Отсюда можно вычислить расстояние, которое репка прошла под действием силы тяги за это время как s = a * t^2 / 2 = 1,96 м/с^2 * 0,0343 с * 0,0343 с / 2 = 0,0126 м. Добавляя эту длину к длине каната в растянутом состоянии, получаем, что длина каната в состоянии покоя равна 0,25 м + 0,0126 м = 0,2626 м. А это соответствует 26,26 см.
