198. Из концов отрезка АВ, перпендикулярного плоскости а и не имеющего с ней общих точек, проведены к плоскости а наклонные АС = 40 см и BD = 25 см. Точка О - ортогональная проекция этого отрезка на плоскость а, причем CO = OD = 24 см (рисунок 126). Найдите длину отрезка AB.
Первым шагом необходимо расчеть длину отрезка АО и отрезка BO с помощью теоремы Пифагора.
АO2 = CO2 + AC2 = 242 + 402 = 576 + 1600 = 2176
BO2 = DO2 + BD2 = 242 + 252 = 576 + 625 = 1201
Теперь можно вычислить длину отрезка AB с помощью формулы косинусов в треугольнике AOB.
AB2 = AO2 + BO2 - 2*AO*BO*cos(BOA)
Из рисунка видно, что AC и BD являются прямыми катетами в прямоугольных треугольниках ACO и BDO, поэтому можно определить значение угла BOA.
cos(BOA) = AC/AB = 40/AB
Подставляя известные значения, получаем:
AB2 = 2176 + 1201 - 2*24*25*(40/AB)
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
AB2 = 3377 - 1200*(40/AB)
Переносим все слагаемые с AB в правую часть уравнения:
AB2 + 48000/AB - 3377 = 0
Данное уравнение является кубическим и может быть решено с помощью кубической формулы.
AB = 17,86 см
