Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у=х^3/2 на отрезке [1;9]
- Область определения функции: x ∈ [1, 9]
- Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции у=х^3/2 на отрезке [1;9], необходимо произвести производную функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение для нахождения экстремумов.
- Производная функции у=х^3/2 равна f'(x) = 3/2 * x^1/2.
- Приравняем производную к нулю и получим x = 0.
- Проверяем полученное значение на принадлежность к области определения функции: 0 ∈ [1, 9]. Ответ подходит.
- Найдем значение функции в точке х=0: f(0)=0.
- Таким образом, наибольшее значение функции у=х^3/2 в точке x=0 равно 0.
- Теперь найдем значение функции на границах отрезка [1;9]. f(1)=(1^3/2)=1 и f(9)=(9^3/2)=(3^3)=27.
- Поэтому наименьшим значением функции на данном отрезке будет f(1)=1, а наибольшем f(9)=27.
- Кроме того, когда функция возрастает на отрезке, наибольшее значение всегда находится на правом конце, а наименьшее - на левом.
- Проверяем ответ: f'(x) = 3/2 * x^1/2 = 0 при x=0 и f'(1) = 3/2 * 1^1/2 = 3/2 > 0 при x=1, значит функция возрастает на отрезке [1;9]. Также, f''(x) = 1/(2 * x^1/2) > 0 при любом x ∈ [1;9], что подтверждает метод экстремумов.
