Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b=p-3q , если |р| = 2√2 , | q | = 3 и p^q = 45°.
Для нахождения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b=p-3q, необходимо вычислить длины векторов a и b. Так как |р| = 2√2, а |q| = 3, то длина вектора a равна √(5² + 2²) √(2² + 3²) = √29 и длина вектора b равна √(1² + (-3)²) = √10. Далее, для определения угла между векторами р и q, необходимо воспользоваться формулой cosα = (р·q)/(|р||q|), где р·q - скалярное произведение векторов, а |р||q| - произведение длин векторов. Так как cosα = 45°, то (р·q)/(|р||q|) = √2/2. Получаем уравнение 2p + 3q = √145. Можно заметить, что это уравнение имеет бесконечное множество решений, однако, при заданных значениях |р| и |q|, оно имеет только одно решение - p = 2 и q = 1. Теперь, используя найденные значения p и q, можно определить координаты вершин параллелограмма a и b и вычислить диагонали через формулу √((b_x-a_x)²+(b_y-a_y)²). Получим диагонали с длинами √13 и √32.
